Introduçao

O R inclui algumas operações com as distribuições de probabilidade. Pode-se observar que existe 4 operações básicas indicadas pela seguinte letras:

  • \(d\)  calcula a densidade de probabilidade \(f(x)\) no ponto;

  • \(p\)  calcula a função de probabilidade acumulada \(F(x)\) no ponto;

  • \(q\)  calcula o quantil correspondente a uma dada probabilidade;

  • \(r\)  gera uma amostra aleatória da distribuição.

Distribuição Binomial no R

Seja \(X\) o número de sucessos obtidos na realização de \(n\) ensaios de Bernoulli independentes.

Então,

\[P(X=x)={n \choose x}\,p^{x}\,(1-p)^{n-x},\quad \quad x=0,1,\ldots,n\] Exemplo 1

Uma moeda honesta é lançada quatro vezes. Assim, o espaço amostral (\(\Omega\)) associado a esse experimento aleatório pode ser apresentado pela tabela a seguir

knitr::include_graphics("img/tab1.png")

Pergunta:

Ao lançarmos uma moeda honesta quatro vezes, qual a probabilidade de ocorrer cara exatamente duas vezes? Ou, qual a probabilidade de ocorrer no máximo três caras nos quatro lançamentos da moeda ?

Primeiramente, vamos construir uma tabela de frequências com o número de caras X eventos de \(\Omega\).

knitr::include_graphics("img/tab2.png")

Observa-s que a tabela de frequências nos informa as respectivas probabilidades. No R, podemos construir o gráfico Probabilidade x Número de Caras da seguinte maneira:

moeda <- data.frame('cara'=
             rep(c('0',"1","2","3","4"), 
                  c(1, 4, 6, 4, 1)))
require(ggplot2)
ggplot(moeda, aes(x = cara, y=..count../sum(..count..), fill = cara)) +
  geom_bar(width=0.1) +
  labs(title = "Lançamento de uma moeda quatro vezes",
     x = "Número de caras",
     y = "Probabilidade",
     fill='Número de caras')

Pode se notar que a medida que a quantidade de lançamentos de uma moeda cresce, torna-se inviável calcular as probabilidades diretamente do espaço amostral, por meio de uma tabela de frequências. Para resolver esse problema pode-se utilizar o conceito de variável aleatória. Neste sentido, vamos estudar no R, a variável aleatória que segue distribuição binomial e resolver esse e outros problemas por meio desse modelo probabilístico.

  1.  Ocorrer exatamente 2 caras em 4 lançamentos de uma moeda.
dbinom(x = 2, #Calcula a probabilidade de P(X=x)
       size = 4, #Quantidade total de lançamentos
       prob = 0.5, #Probabilidade inicial de ocorrer o sucesso
       log = FALSE)
# [1] 0.375
  1.  Ocorrer no máximo 3 caras em 4 lançamentos de uma moeda.
pbinom(q = 3, #Quantidade de caras
        size = 4, #Quantidade total de lançamentos
        prob = 0.5, #Probabilidade lançar uma moeda uma única vez e ocorrer cara
        lower.tail = TRUE #P[X <= x]
        )
# [1] 0.9375
  1.  Podemos utilizar a função plot para construir o gráficos de Probabilidades x Valores observados
caras <- 0:4
probabilidade <- dbinom(x = caras,   # Quantidade de sucessos
                        size = 4,  # Quantidade de lançamentos
                        prob = 0.5)  # Probabilidade de sucesso

probabilidade
# [1] 0.0625 0.2500 0.3750 0.2500 0.0625
plot(caras, probabilidade, 
     xlab = "Número de Caras",
     ylab = "Probabilidade",
     type ='h',   # Desenha uma linha vertical
     col = 'red',   # Cor da linha
     lwd=3)      # Espessura da linha/ponto

Exemplo 2

Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa é \(0,5\). Seleciona-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas. Suponha que \(X\) é o número de peças defeituosa produzidas em único dia. Qual é a probabilidade de um remessa com 10 peças conter pelo menos quatro peças defeituosa?

Solução

Observa-se que \(X =\) Número de peças defeituosa produzidas numa remessa com 10 peças.

Então,

\[P[X \geq 4] = 1 - P[X < 4] = 1 - P[X \leq 3]\]

No R, temos que

 pbinom(q = 3, #Quantidade de peças defeituosas
        size = 10, #Quantidade total de peças
        prob = 0.5, #Probabilidade de sucesso (peça defeituosa)
        lower.tail = FALSE #P[X > x]
        )
# [1] 0.828125

Exercício no R

Considere nascimentos de 4 filhotes de coelhos de uma determinada raça. Nesta raça há um distúrbio genético e a probabilidade de nascer fêmea é 5/8. Sendo \(X\) a ocorrência de fêmeas, determine:

  1.  Construa um gráfico de probabilidades x valores observados de \(X\)

  2.  Qual a probabilidade de nascer pelo menos três fêmeas

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