Introdução

Considere uma situação em que a contagem do número de ocorrências em um certo intervalo de tempo é uma variável aleatória que segue distribuição de Poisson. Vamos supor que temos o interesse em verificar o tempo transcorrido até a ocorrência do evento de interesse, isto é, podemos pensar na probabilidade do tempo entre duas ocorrências consecutivas. Essa última variável aleatória contínua segue o comportamento probabilístico da chamada distribuição exponencial.

Neste sentido, o modelo exponencial é utilizado para descrever o tempo entre ocorrências de sucessivos eventos a partir de uma variável aleatória que segue o modelo Poisson. Isto significa que ambos os modelos probabilísticos estão a ssociados a um processo estocástico, chamado de processo de Poisson.

Em termos de aplicação, a distribuição exponencial tem sido utilizada extensivamente como um modelo para o tempo de vida de certos produtos e materiais, como por exemplo, no estudo do tempo de vida de óleos isolantes e dielétricos, entre outros.

Distribuição Exponencial

Uma variável aleatória contínua \(X\) (\(x > 0\)), segue a distribuição exponencial com parâmetro \(\lambda > 0\) se sua função densidade probabilidade (fdp) é representada por

\[ f(x) = \begin{cases} \lambda \ e^{-\lambda \ x} & \quad \text{se } x \geq 0 \\\\ 0 & \quad \text{caso contrário} \end{cases} \]

em que o parâmetro \(\lambda > 0\) indica a taxa de ocorrência por unidade de medida, que pode ser tempo, distância ou volume, entre outros.

A expressão da sua função de distribuição acumulada (fda) pode ser obtida por meio de integração e resulta em

\[ F(x) = 1 - \ e^{-\lambda \ x} \]

A expressão da sua função de distribuição acumulada (fda) pode ser obtida por meio de integração e resulta em

Esperança e Variância:  \(\displaystyle \mbox{E}(X) = \frac{1}{\lambda} \quad \mbox{e} \quad \mbox{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}\)

Notação:  \(X \sim \text{exp}\ (\lambda)\).

O gráfico da sua função densidade é representado por

par(mfrow=c(2,2), mar=c(3,4,2,1), mgp=c(2,0.5,0), las=1)
plot(0:30, dexp(x = 0:30, rate = 0.2), type = "l",
     xlab = "x", ylab = "f(x)", main = expression(lambda == 0.2),
     ylim = c(0,.2), axes = TRUE)
plot(0:30, dexp(x = 0:30, rate = 0.5), type = "l",
     xlab = "x", ylab = "f(x)", main = expression(lambda == 0.5),
     ylim = c(0,.5), axes = TRUE)
plot(0:30, dexp(x = 0:30, rate = 1), type = "l",
     xlab = "x", ylab = "f(x)", main = expression(lambda == 1),
     ylim = c(0,1), axes = TRUE)
plot(0:30, dexp(x = 0:30, rate = 2), type = "l",
     xlab = "x", ylab = "f(x)", main = expression(lambda == 2),
     ylim = c(0,2), axes = TRUE)

Cálculo de Probabilidades

A distribuição exponencial possui um propriedade interessante para o cálculo de probabilidades. Vamos considerar uma variável aleatória  \(X\)  tal que  \(X \sim \text{exp}\ (\lambda)\).  Aqui, temos o interesse em calcular a probabilidade do tempo até a ocorrência de um certo evento estar num intervalo \([a,b]\) dos reais positivos.

Então,

\[ P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \ dx = \ e^{-\lambda \ a} \ - \ e^{-\lambda \ b} \]

Exemplo

Uma indústria fabrica lâmpadas especiais que ficam em operação continuamente. A empresa oferece a seus clientes a garantia de reposição, caso a lâmpada dure menos de 50 horas. A vida útil dessas lâmpadas é modelada por meio de distribuição exponencial com parâmetro \(1/8000\).

  • Qual é a duração média das lâmpadas?

  • Determine a proporção de troca por defeito de fabricação.

Solução:

Observa-se que  \(X \sim \mbox{exp}(1/8000)\).

Então, a duração média das lâmpadas é dada por  \(\displaystyle \mbox{E}(X) = \frac{1}{\lambda} = 8000\)h.

  • Proporção de troca por defeito: \[ \begin{align*} P(X < 50) &= \int_{0}^{50} \lambda \ e^{-\lambda \ x} \, dx & \\\\ &= \int_{0}^{50} \frac{1}{8000} e^{-\frac{1}{8000} x} \, dx & \\\\ &= e^{-\frac{1}{8000} 0} - e^{-\frac{1}{8000} 50} & \text{(usando a propriedade)}\\\\ &= 1 - 0.994 & \\\\ &= 0.006 & \end{align*} \]

Exercícios

 

  1.  Seja \(X\) uma variável aleatória tal que \(X \sim \mbox{exp} (1/60)\) que representa a expectativa de vida, em anos. A partir dessas informações, determine:

  1.  Para um indivíduo selecionado ao acaso, a probabilidade de viver pelo menos até os 70 anos.

  2.  Para um indivíduo selecionado ao acaso, a probabilidade de morrer antes dos 70 anos, sabendo-se que o indivíduo acabou de completar 50 anos.

  3.  Calcule o valor de \(m\) tal que \(P(X > m) = 1/2\).

 

  1.  Certo tipo de fusível tem duração de vida que segue uma distribuição exponencial com vida média de 100 horas. Cada fusível tem um custo de R$ 10,00 e, se durar menos de 200 horas, existe um custo adicional de R$8,00. Pergunta-se:

  1.  Qual a probabilidade de um fusível durar mais de 150 horas?

  2.  Foi proposta a compra de uma outra marca que tem uma vida média de 200 horas e um custo de R$ 15,00. Considerando também a incidência do custo adicional, deve ser feita a troca de marca?

Licença Creative Commons 4.0

Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative Commons 4.0