Introdução

O R inclui algumas operações com as distribuições de probabilidade. Pode-se observar que existe 4 operações básicas indicadas pela seguinte letras:

  • \(d\)  calcula a densidade de probabilidade \(f(x)\) no ponto;

  • \(p\)  calcula a função de distribuição acumulada \(F(x)\) no ponto;

  • \(q\)  calcula o quantil correspondente a uma dada probabilidade;

  • \(r\)  gera uma amostra aleatória da distribuição

Distribuição Normal no R

Diz-se que uma variável aleatória \(X\) segue distribuição normal (ou Gaussiana) se sua função densidade é dada por

\[ f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{1}{2} \left( \frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2\right], \quad -\infty < x < \infty \] em que \(\mu \in \mathbb{R}\) é o parâmetro que representa a média populacional e \(\sigma > 0\) é o parâmetro que representa o desvio-padrão populacional.

A funcionalidade para distribuição normal é implementada por argumentos que combinam as letras acima com o termo norm. Observa-se que por default as funções assumem a distribuição normal padrão, isto é, \(N(\mu=0, \ \sigma^2=1)\).

Vamos calcular as seguintes quantidades.

i) dnorm(-1);

dnorm(-1)
# [1] 0.2419707

ii) pnorm(-1);

pnorm(-1)
# [1] 0.1586553

iii) qnorm(0.975);

qnorm(0.975)
# [1] 1.959964

iv) rnorm(10)

rnorm(10)
#  [1] -0.4409454  1.1116333 -0.1921148  0.6429977  2.5384460 -0.4580447
#  [7] -0.5449993 -1.5918150 -1.8547301  2.4669344

Observações

 

A função dnorm(-1) retorna o valor de \(f(-1)\), isto é

 

\[f(-1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\rm{e}^{-\frac{(-1)^2}{2}} = 0.2419707\]  

A função pnorm(-1) calcula a probabilidade \(P[Z \leq -1]\)

 

O comando qnorm(0.975) calcula o valor de \(a\) tal que \(P[Z \leq a] = 0.975\)

 

Observa-se que o comando rnorm(10) gera uma amostra de 10 elementos da distribuição normal padrão.

 

A seguir, vamos ver os comandos para fazer gráficos de distribuições de probabilidade


Vamos estudar os gráficos das funções densidade e distribuição acumulada da normal padrão

plot(dnorm, -3, 3) 

plot(pnorm, -3, 3)

Exercício

Seja \(X\) uma v.a. com distribuição \(N(100, 100)\).  Calcular as probabilidades:


a)  \(P[X < 95]\)

b) \(P[90 < X < 110]\)

c) \(P[X > 95]\)

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