Introdução

O R inclui algumas operações com as distribuições de probabilidade. Pode-se observar que existe 4 operações básicas indicadas pela seguinte letras:

  • \(d\)  calcula a densidade de probabilidade \(f(x)\) no ponto;

  • \(p\)  calcula a função de distribuição acumulada \(F(x)\) no ponto;

  • \(q\)  calcula o quantil correspondente a uma dada probabilidade;

  • \(r\)  gera uma amostra aleatória da distribuição

Distribuição de Poisson no R

Uma variável aleatória \(X\) segue distribuição de Poisson, a partir de um processo de Poisson, se sua função de probabilidade é representada por

\[P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{x}}{x!},\quad \quad \quad x=0,1,\ldots\] em que, o parâmetro \(\lambda \geq 0\) representa a taxa média de ocorrência por unidade de medida (tempo, por exemplo).

Exemplo 1

Nos últimos 30 dias foram registrados a quantidade de acidentes por dia em uma determinada cidade. Vamos construir a tabela de frequência para o número de acidentes.

Então,

acidente <- data.frame('acd'= c(9, 6, 9, 11, 10, 10, 6, 10, 9, 4, 8, 10,
                                10, 7, 9, 11, 4, 6, 11, 8, 5, 3, 5, 9, 6))

table(acidente$acd)
# 
#  3  4  5  6  7  8  9 10 11 
#  1  2  2  4  1  2  5  5  3

Utilizando o pacote ggplot podemos plotar o gráfico Frequência x Número de acidentes, isto é

require(ggplot2)
ggplot(acidente, aes(x = as.factor(acd), y=..count../sum(..count..),
                     fill = as.factor(acd))) +
  geom_bar(width=0.1) +
  labs(title = "Acidentes por dia",
     x = "Número de acidentes",
     y = "Frequência",
     fill='Número de acidentes')

Observa-se que não temos como afirmar qual será a quantidade máxima de acidentes que podem ocorrer em um único dia. Assim, a distribuição de Poisson é o modelo probabilístico para dados de contagem dentro de um intervalo de tempo.

Calculando-se a média e o desvio-padrão do número de acidentes, temos:

mean(acidente$acd)
# [1] 7.84
sd(acidente$acd)
# [1] 2.44404

Observa-se que neste modelo, uma estimativa relacionada ao parâmetro \(\lambda\) deve ser a média amostral. Então, pode-se utilizar \(\lambda = 8\) como a taxa de ocorrência de acidentes diaria.

Questão: Qual é a probabilidade de ocorrer 12 acidentes em um único dia ?

dpois(x = 12,
      lambda = 8)
# [1] 0.0481268
acid_dia <- 0:20
probs <- dpois(x = acid_dia,
              lambda = 8)

probs
#  [1] 0.0003354626 0.0026837010 0.0107348041 0.0286261442 0.0572522885
#  [6] 0.0916036616 0.1221382155 0.1395865320 0.1395865320 0.1240769173
# [11] 0.0992615338 0.0721902064 0.0481268043 0.0296164949 0.0169237114
# [16] 0.0090259794 0.0045129897 0.0021237599 0.0009438933 0.0003974287
# [21] 0.0001589715

Graficamente, temos

plot(acid_dia, probs, 
     xlab = "Número de acidentes por dia",
     ylab = "Probabilidade",
     type='h',   # Traça uma linha vertical
     col='red',   # Cor da linha
     lwd=4)      # Espessura da linha/ponto

Exercício no R

Exemplo 2

Falhas ocorrem ao acaso ao longo do comprimento de um fio delgado de cobre. Suponha que o número de falhas segue uma distribuição de Poisson com uma méia \(2,3\) falhas por milímetro.

a) Construa o gráfico da função de probabilidade da variável aleatória.

Determine a probabilidade de :

b) Existir exatamente 2 falhas em 1 mm de fio.

c) Existir 10 falhas em 5 mm de fio.

d) Existir pelo menos uma falha em 2 mm de fio.

e) Ocorrer no máximo 2 falhas em 1 mm de fio.

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